• 수치적으로 근 찾는 방법이 필요함.

• 여기 사용되는 방법이 Newton’s Method 또는 Newton-Raphson Method임

• 아이디어 : 접선의 기울기는 미분으로 표현할 수 있음

• 이를 통해 방정식을 표현할 수 있음’

• x좌표가 x_1인 점에서 방정식은 다음과 같이 구현 가능.

  $$ y-f(x_1) = f^{\prime}(x_1)(x-x_1) $$

• 접선의 기울기 f’(x)의 그래프의 x절편을 x_2라고 하자.

• 그러면, (x_2,0)은 직선 위의 점이고 따라서,

$$ 0-f(x_1) = f^{\prime}(x_1)(x_2-x_1) $$

을 얻는다.

• 그런데 f’(x)가 0이 아니면, x_2에 대해 이 방정식을 풀이할 수 있음!
• 이 절차를 반복함으로써 근사해를 구할 수 있고, 이를 점화식으로 나타내면,

$$ x_{n+1}=x_{n}-\frac{f(x_n)}{f^\prime(x_n)} $$

• n이 커져서 x_n이 점점 더 찾고자 하는 근 r로 가까이 가면 수열이 r로 수렴한다고 하고

$$ \lim_{x\to\infty}{x_n} = r $$

• 그런데 어떤 상황에서는 이 수열이 수렴하지 않을 수 있음

  • 초기 근사해가 선택되어야 함.

• 그러면 제곱근 구하기에도 구현할 수 있겠네?

  • 우선 루트 2의 근사값 구하기로, 스튜어트 미분적분학에 있는 수식을 토대로 구현하였음.
  • k의 제곱근을 구하기 위해서 사용할 방정식은 다음과 같이 정의할 수 있다.

  $$ x^2 - k = 0 $$

• 접선의 기울기는 미분하면, $2x$이다.

제곱근 구하기 C로 코드 구현

#include<stdio.h>

double SquareRoot(int num) {
	//x^2 = num을 만족하는 x를 찾는 문제
	double x = 1.0; //초기값을 1로 설정
	double next_x = 0.0; // 다음 x값을 저장할 변수
	double diff = 0.0; // x와 next_x의 차이를 저장할 변수

	// num의 제곱근을 찾을때까지 반복
	while (1) {
		next_x = 0.5 * (x + num / x); // 방정식을 간소화
		diff = next_x - x; // x와 next_x의 차이 계산
		if (diff < 0.0000001 && diff > -0.0000001) // 차이가 0에 가까우면 반복문 종료
			break;
		x = next_x; // x값을 next_x값으로 갱신
	}

	return next_x; // 제곱근 반환
}

int main(void) {

	printf("%d의 제곱근 : %.3f\\n", 2, SquareRoot(2));
	return 0;
}