$$ \Vert x-a \Vert_2 \leq \Vert x-b \Vert_2 $$
양변을 제곱하면, 다음과 같음.
$$ \Vert x-a \Vert_{2}^{2} \leq \Vert x-b \Vert_{2}^{2} $$
위의 Euclidean Norm을 제곱한 건 어떤 벡터에 그 벡터를 Transpose한 표현으로 나타낼 수 있어서, 고쳐 쓰면 다음과 같음.(행벡터와 열벡터 곱하면 스칼라값)
$$ (x-a)^\top(x-a)\leq(x-b)^\top(x-b) $$
이를 정리하면,
$$ (x-a)^\top(x-a)\leq(x-b)^\top(x-b)\\ $$
풀이하면,
$$ (x^\top-a^\top)(x-a) \leq(x^\top-b^\top)(x-b) \\[2em] x^\top x-2a^\top x + a^\top a \leq x^\top x-2b^\top x + b^\top b \\[2em] 2b^\top x - 2a^\top x \leq b^\top b - a^\top a \\[2em] 2(b^\top - a^\top)x \leq b^\top b - a^\top a $$
양변을 2로 나누고 정리하면,
$$ (b-a)^\top x\leq \frac {\Vert b\Vert_{2}^{2} - \Vert a\Vert_{2}^{2}}{2} $$
이걸 Halfspace으로 그려보기로 하자.
우선, $\R^2$ 에서의 두 점 $a,b$를 각각 $a = \begin{bmatrix}1 \\ 2\end{bmatrix}, b =\begin{bmatrix}3 \\ 4\end{bmatrix}$라고하자
$b - a = \begin{bmatrix}3 \\4\end{bmatrix} - \begin{bmatrix}1 \\2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}2 \\2\end{bmatrix}$
$d = \frac{25-5}{2} = 10$