$$ L(x, y_i, \lambda_i)=\sum_{i=1}^{N}||y_i||{2}^{2}+\frac{1}{2}||x-x_0||{2}^{2}+\sum_{i=1}^{N}\lambda_i^\top(A_ix+b_i-y_i) $$
$$ \nabla xL=\sum{i=1}^{N}A_i^\top\lambda_i +x-x_0=0 $$
x에 대한 최적화 조건은
$$ x = x_0-\sum_{i=1}^{N}A_i^\top\lambda_i $$
$$ \nabla_{y_i}L=2y_i-\lambda_i=0 $$
y_i에 대한 최적화 조건은
$$ y_i=\frac{1}{2}\lambda_i $$
이후 x와, y_i를 라그랑지안에 대입해서 듀얼 함수를 구한다.
$$ g({\lambda_i}) = \inf_{x,y_i}L(x,y,\lambda_i)=L(x^, y^, \lambda_i) $$
$$ \sum_{i=1}^{N}\left\|y_i\right\|{2}^{2}=\sum{i=1}^{N}\left\| \frac{1}{2}\lambda_i \right\|{2}^{2}=\sum{i=1}^{N}\frac{1}{4} \lambda_i^2 $$
$$ \frac{1}{2}\sum_{i=1}^{N}\left\|x-x_0\right\|{2}^{2}=\frac{1}{2}\left\| \sum{i=1}^{N}A_i^\top\lambda_i \right\|_{2}^{2} $$